ニュートン法

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ニュートン法

概要

関数 f(x) について f(c)=0 となる c がひとつだけ存在するとき、

という数列を考え、

が十分に小さくなったら、いずれかの項を f(c)=0 なる c の近似値とするという手法です。

原理

適当な項

について、

の接線と x 軸の交点を

とします。これを繰り返すと、f(c)=0 となる c に近づきます。.

ただし、三角関数のように接線が x 軸と平衡になってしまうようなケースなど、条件によってはうまくいかないケースもあるので、注意が必要です。

交点の算出

接線は

で、

を通るので、

となります。ここで、g(x)=0 となる x が n+1 項になります。

サンプルプログラム

ニュートン関数

区間 [a,b] で f(a) と f(b) が同符号である場合、永久ループとなってしまうことに気をつけてください。

// ver.041108
#ifndef __NEWTON_H
#define __NEWTON_H

#include <cmath>

// Function: y=0 を求めたい関数
// FunctionD: Function の微分関数
// x: 初項
// e: 終了条件 第n項と第n+1項の差
double Newton(double (*Function)(double), double (*FunctionD)(double), double x, double e)
{
	double x2 = x;
	do{
		x = x2;
		x2 = x - Function(x) / FunctionD(x);
	}while(fabs(x2 - x) >= e);

	return x2;
}

#endif

メインプログラム

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
#include "../Newton.h"

double F(double x);
double FD(double x);

main()
{
	cout << Newton(F, FD, 0.5, pow(10.0, -10.0)) << endl;

	return 0;
}

double F(double x)
{
	return cos(x);
}

double FD(double x)
{
	return -sin(x);
}